线性代数示例

$x + y + z + t = 4$ , $2 x - y - z - t = - 1$ , $x + y - 2 z = 0$ , $3 x + 3 t = 6$

解题步骤 1

从方程组中求 $A X = B$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

解题步骤 2

求系数矩阵的逆矩阵。

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解题步骤 2.1

求行列式。

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解题步骤 2.1.1

选择包含最多 $0$ 元素的行或列。如果没有 $0$ 元素，选择任何一行或一列。将第 $4$ 行中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 2.1.1.1

考虑相应的符号表。

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.1.1.2

代数余子式是指在索引与符号图上的 $-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 2.1.1.3

$a_{41}$ 的子式是已删除了行 $4$ 和列 $1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 2.1.1.4

将元素 $a_{41}$ 乘以其代数余子式。

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 2.1.1.5

$a_{42}$ 的子式是已删除了行 $4$ 和列 $2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 2.1.1.6

将元素 $a_{42}$ 乘以其代数余子式。

$3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 2.1.1.7

$a_{43}$ 的子式是已删除了行 $4$ 和列 $3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 2.1.1.8

将元素 $a_{43}$ 乘以其代数余子式。

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 2.1.1.9

$a_{44}$ 的子式是已删除了行 $4$ 和列 $4$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.1.1.10

将元素 $a_{44}$ 乘以其代数余子式。

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.1.1.11

最后把这些项加起来。

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$ 。

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.1.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$ 。

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 2.1.4

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.1.4.1

选择包含最多 $0$ 元素的行或列。如果没有 $0$ 元素，选择任何一行或一列。将第 $1$ 行中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 2.1.4.1.1

考虑相应的符号表。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.1.4.1.2

代数余子式是指在索引与符号图上的 $-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 2.1.4.1.3

$a_{11}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 2.1.4.1.4

将元素 $a_{11}$ 乘以其代数余子式。

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 2.1.4.1.5

$a_{12}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 2.1.4.1.6

将元素 $a_{12}$ 乘以其代数余子式。

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 2.1.4.1.7

$a_{13}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.1.4.1.8

将元素 $a_{13}$ 乘以其代数余子式。

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.1.4.1.9

最后把这些项加起来。

$- 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 2.1.4.2

计算 $| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 3 (1 (- - 2 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 2.1.4.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.2.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- 3 (1 (2 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 2.1.4.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 (1 (2 + 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 2.1.4.2.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 2.1.4.3

计算 $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.1.4.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (2 \cdot - 2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 2.1.4.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.1.4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.3.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (- 4 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 2.1.4.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (- 4 + 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 2.1.4.3.2.2

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 2.1.4.4

计算 $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.1.4.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 \cdot 1 - 1 \cdot - 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 2.1.4.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.1.4.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.4.2.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 - 1 \cdot - 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 2.1.4.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 + 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 2.1.4.4.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 2.1.4.5

化简行列式。

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解题步骤 2.1.4.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.5.1.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 2.1.4.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$- 3 (3 + 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 2.1.4.5.1.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (3 + 3 + 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 2.1.4.5.2

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$- 3 (6 + 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 2.1.4.5.3

将 $6$ 和 $3$ 相加。

$- 3 \cdot 9 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 2.1.5

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

选择包含最多 $0$ 元素的行或列。如果没有 $0$ 元素，选择任何一行或一列。将第 $1$ 列中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 2.1.5.1.1

考虑相应的符号表。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.1.5.1.2

代数余子式是指在索引与符号图上的 $-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 2.1.5.1.3

$a_{11}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 2.1.5.1.4

将元素 $a_{11}$ 乘以其代数余子式。

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 2.1.5.1.5

$a_{21}$ 的子式是已删除了行 $2$ 和列 $1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 2.1.5.1.6

将元素 $a_{21}$ 乘以其代数余子式。

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 2.1.5.1.7

$a_{31}$ 的子式是已删除了行 $3$ 和列 $1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.1.5.1.8

将元素 $a_{31}$ 乘以其代数余子式。

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.1.5.1.9

最后把这些项加起来。

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

解题步骤 2.1.5.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ 。

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

解题步骤 2.1.5.3

计算 $| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.1.5.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (- - 2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

解题步骤 2.1.5.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.1.5.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.5.3.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

解题步骤 2.1.5.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (2 + 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

解题步骤 2.1.5.3.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

解题步骤 2.1.5.4

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.1.5.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (1 \cdot - 2 - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0$

解题步骤 2.1.5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.1.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.5.4.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (- 2 - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0$

解题步骤 2.1.5.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (- 2 - 1) + 0) + 0 + 0$

解题步骤 2.1.5.4.2.2

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 \cdot - 3 + 0) + 0 + 0$

解题步骤 2.1.5.5

化简行列式。

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解题步骤 2.1.5.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.5.5.1.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 3 \cdot 9 + 3 (3 + 1 \cdot - 3 + 0) + 0 + 0$

解题步骤 2.1.5.5.1.2

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 3 \cdot 9 + 3 (3 - 3 + 0) + 0 + 0$

解题步骤 2.1.5.5.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$- 3 \cdot 9 + 3 (0 + 0) + 0 + 0$

解题步骤 2.1.5.5.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$- 3 \cdot 9 + 3 \cdot 0 + 0 + 0$

解题步骤 2.1.6

化简行列式。

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解题步骤 2.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.6.1.1

将 $- 3$ 乘以 $9$ 。

$- 27 + 3 \cdot 0 + 0 + 0$

解题步骤 2.1.6.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$- 27 + 0 + 0 + 0$

解题步骤 2.1.6.2

将 $- 27$ 和 $0$ 相加。

$- 27 + 0 + 0$

解题步骤 2.1.6.3

将 $- 27$ 和 $0$ 相加。

$- 27 + 0$

解题步骤 2.1.6.4

将 $- 27$ 和 $0$ 相加。

$- 27$

解题步骤 2.2

由于行列式非零，所以逆存在。

解题步骤 2.3

设置一个 $4 \times 8$ 矩阵，其中左半部分是原始矩阵，右半部分是其单位矩阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.4

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 2.4.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.4.1.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + 1 \cdot 1 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 1 \cdot 1 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.4.1.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.4.2

执行行操作 $R_{4} = R_{4} - 3 R_{1}$ 使 $4, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

执行行操作 $R_{4} = R_{4} - 3 R_{1}$ 使 $4, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 2.4.2.2

化简 $R_{4}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.4.3

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{3}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{3}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.4.3.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.4.4

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.4.4.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 0 & - 2 - 0 & 0 - \frac{1}{3} & 0 - \frac{1}{3} & 1 - 0 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.4.4.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.4.5

执行行操作 $R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ 使 $4, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.4.5.1

执行行操作 $R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ 使 $4, 3$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 + 3 \cdot - 2 & - 3 + 3 (- \frac{1}{3}) & 0 + 3 (- \frac{1}{3}) & 0 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 2.4.5.2

化简 $R_{4}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 9 & - 4 & - 1 & 3 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.4.6

将 $R_{4}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{9}$ ，使 $4, 4$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 2.4.6.1

将 $R_{4}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{9}$ ，使 $4, 4$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot - 9 & - \frac{1}{9} \cdot - 4 & - \frac{1}{9} \cdot - 1 & - \frac{1}{9} \cdot 3 & - \frac{1}{9} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 2.4.6.2

化简 $R_{4}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

解题步骤 2.4.7

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 2 R_{4}$ 使 $3, 4$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.4.7.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 2 R_{4}$ 使 $3, 4$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 + 2 \cdot 0 & 0 + 2 \cdot 0 & 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - \frac{1}{3} + 2 (\frac{4}{9}) & - \frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{9}) & 1 + 2 (- \frac{1}{3}) & 0 + 2 (- \frac{1}{9}) \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

解题步骤 2.4.7.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

解题步骤 2.4.8

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - R_{4}$ 使 $1, 4$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.4.8.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - R_{4}$ 使 $1, 4$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 1 - \frac{4}{9} & 0 - \frac{1}{9} & 0 + \frac{1}{3} & 0 + \frac{1}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

解题步骤 2.4.8.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

解题步骤 2.4.9

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.4.9.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & \frac{5}{9} - \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} + \frac{2}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

解题步骤 2.4.9.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

解题步骤 2.4.10

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.4.10.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{3} & 0 - \frac{1}{3} & 0 - 0 & \frac{1}{3} - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

解题步骤 2.4.10.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

解题步骤 2.5

行简化阶梯形的右半部分是逆。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

解题步骤 3

对矩阵方程的两边同时左乘逆矩阵。

$([\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

解题步骤 4

任何矩阵与其逆矩阵的乘积始终等于 $1$ 。 $A \cdot A^{- 1} = 1$ 。

$[\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

解题步骤 5

乘以 $[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$ 。

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解题步骤 5.1

当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，这两个矩阵才可以相乘。在本例中，第一个矩阵是 $4 \times 4$ ，第二个矩阵是 $4 \times 1$ 。

解题步骤 5.2

将第一个矩阵中的每一行乘以第二个矩阵中的每一列。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 6 \\ \frac{1}{3} \cdot 4 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 6 \\ \frac{5}{9} \cdot 4 - \frac{1}{9} \cdot - 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{2}{9} \cdot 6 \\ \frac{4}{9} \cdot 4 + \frac{1}{9} \cdot - 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{9} \cdot 6 \end{array}]$

解题步骤 5.3

通过展开所有表达式化简矩阵的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 6

化简左右两边。

$[\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 7

求解。

$t = 1$

$x = 1$

$y = 1$

$z = 1$

线性代数 示例

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